Аннуитет

Добавлено в закладки: 0

Что такое аннуитет – это термин, который обозначает ежегодные платежи.

В своем первом значении, он означает вид срочного государственного займа, который размещают на условии ежегодной выплаты процентов, и при этом, ежегодно погашается часть суммы займа.

Под аннуитетом также подразумевают денежные платежи, которые равны друг другу и выплачиваются как часть погашения займа и процентов по займу. В этом случае выплаты ведут через определенные промежутки времени.

Рассмотрим, более детально, что значит аннуитет. Аннуите́т или финансовая рента — общий термин, который описывает график погашения финансового инструмента (уплаты части основного долга или выплаты вознаграждения и процентов по нему), когда выплаты периодически устанавливаются равными суммами через одинаковые промежутки времени. Аннуитетный график является сложным. Он отличен от такого графика погашения, при котором выплата полной причитающейся суммы проходит в конце срока действия инструмента, или графика, при котором на периодическом основании выплачивают лишь проценты, а всю сумму основного долга необходимо оплатить в конце.

Сумма аннуитетного платежа в себя включает вознаграждение и основной долг.

Аннуитетом в широком смысле может быть, как сам финансовый инструмент, так и сумма периодического платежа, тип графика погашения финансового инструмента или прочие оттенки значения, производные понятия. Аннуитетом, к примеру, является:

• Один из типов государственного срочного займа, по которому каждый год выплачивают проценты, и часть суммы погашается.
• Денежные платежи, которые равны друг другу, выплачиваются через определённые промежутки времени для погашения полученного кредита, процентов по нему и займа.
• В страховании жизни — договор со страховой компанией, по которому физическое лицо получает право на регулярное получение согласованных сумм, от определённого времени, к примеру, выхода на пенсию.
• Современная стоимость серии регулярных страховых выплат, которые производятся с определенной периодичностью в течение срока, который установлен договором страхования.

Аннуитетный график может также применяться для того, чтобы накопить к заданному моменту времени определённую сумму, внося одинаковые вклады на депозит или счёт, по которому начисляют вознаграждение.

Типы аннуитетов

По времени выплаты первого аннуитетного платежа отличают:

• аннуитет постнумерандо — выплату осуществляют в конце первого периода,
• аннуитет пренумерандо — выплату осуществляют в начале первого периода.

Коэффициент аннуитета

Коэффициент аннуитета превращает сегодняшний разовый платёж в платёжный ряд. На практике возможны определенные отличия от математического расчёта, которые вызваны округлением и неодинаковой длительностью года и месяца; особенно это в отношении последнего по сроку платежа.

Предполагают, что выплаты проводятся постнумерандо, или в конце каждого периода.

Пример расчета аннуитета

Рассчитаем ежемесячную выплату по трехлетнему кредиту суммой 12000 долларов по ставке 6 % годовых. Так как выплаты будут проводиться каждый месяц, нужно привести процентную ставку из годового значения к месячному:

Коэффициент умножаем на сумму кредита — 12000. Получаем приблизительно 364 долларов 20 центов в месяц.

Обычно погашение долга предполагает ежеквартальные или ежемесячные выплаты, и задают годовую процентную ставку.

Кардинальное отличие простых процентов в отсутствии промежуточной капитализации процентов, потому при расчете простыми процентами вначале проводится выплата главного долга, а после того, как выплачен весь долг, начинают выплату (капитализацию) процентов.

Будущая стоимость аннуитетных платежей

Будущая стоимость аннуитетных платежей предусматривает, что платежи проводятся на вклад, который приносит проценты. Потому будущая стоимость аннуитетных платежей – это функция, как величины аннуитетных платежей, так и ставки процента по вкладу.

Аннуитет пренумерандо в рассматриваемом случае начисления процентов по аннуитетным платежам, имеет больше на один период начисления процентов.

В состав финансовых функций в табличных процессорах входит функция для расчета будущей стоимости аннуитетных платежей. В OpenOffice.org Calc для расчета будущей стоимости аннуитетных платежей (как пренумерандо, так и постнумерандо) используется функция FV.

Пренумерандо и постнумерандо

Еще немного терминов. Это загадочные и красивые термины означают всего только момент платежа: пренумерандо обозначает платежи в начале каждого периода времени, постнумерандо — в его конце. Эти термины, которые пришли к нам из латыни, применяются в официальных бумагах или в учебниках. Если же сказать по-простому: денежные потоки с выплатой в начале года или в конце года.

В этой статье рассмотрим примеры расчета простых аннуитетов, в которых период начисления процентов и период платежа равняются друг другу. То есть когда начисляются проценты, к примеру, за год, то и выплаты будут каждый год. Или проценты ежемесячно начисляются, и платежи также ежемесячно осуществляются. Есть аннуитеты, в которых данные периоды не совпадают (периоды начисления процентов и периоды выплат), но это более сложные вычисления, требующие обращения к учебникам по финансовой математике.

Наращение и дисконтирование

В начале вспомним о том, что такое наращение и дисконтирование. Продисконтировать – значит рассчитать текущую стоимость предстоящего денежного потока. То есть, когда вам нужно накопить к какой-то дате в будущем определенную сумму, то, использовав дисконтирование, сможете рассчитать, сколько необходимо сегодня положить в банк.

Наращение – движение из сегодня в завтра: расчет будущей стоимости денег, которые есть у вас сегодня. Когда положите деньги на счет в банке, зная банковскую ставку, сможете рассчитать, сколько у вас накопится денег на счете в каждый момент времени в будущем.

Дисконтирование и наращение, ясно, не используются, когда сберегаете деньги дома. Все эти расчеты являются справедливыми лишь тогда, когда можете инвестировать свои деньги: положить на счет в банке или купить ценные долговые бумаги.

Наращение и дисконтирование используются не лишь к одному денежному потоку, но и к последовательности денежных потоков, денежные суммы при этом могут быть различными по величине. Частным случаем этих множественных денежных потоков являются аннуитеты.

Формула аннуитета

Денежные аннуитетные потоки тоже можно наращивать и дисконтировать, то есть определять их будущую и текущую стоимости.

К примеру, это нужно, когда нам необходимо выбрать меж двумя предлагаемыми нам вариантами получения денег. Не зная главных положений финансовой математики, можно прогадать и выбрать невыгодный для себя заведомо вариант. Что и используют более осведомленные участники финансового рынка, именно банки.

Расчет аннуитета — дисконтирование

ПРИМЕР 1. Возьмем абстрактный пример. К примеру, вам необходимо подобрать, что лучше:

• (А) получить сегодня 100,000 долларов или
• (Б) 5 раз в конце каждого из 5 лет по 25,000 долларов.

В сумме 5 * 25,000 = 125,000, что, кажется, лучше, чем 100,000 долларов. Но так ли это на самом деле? У денег ведь есть еще и «временная» стоимость. В данный момент банковская ставка в этой стране, допустим, равняется 10%.

Вариант (Б) являет собой простой вариант аннуитета. Но не все знают, что это называется именно так. Чтобы сравнить такие два варианта меж собой (что выгоднее?), необходимо привести их к одному моменту времени, так как стоимость денег в различные моменты времени разная. В этом случае необходимо продисконтировать аннутитетный денежный поток (Б), то есть рассчитать его сегодняшнюю стоимость. Когда дисконтированная стоимость аннуитета будет более 100,000 долларов, значит, второй вариант при данной ставке процента выгоднее.

Если продисконтировать (то есть привести к текущему моменту) отдельно каждую сумму за каждый из 5 лет, то получится следующая табличка:

• 25,000*0,9091 = 22,727
• 25,000*0,8264 = 20,661
• 25,000*0,7513 = 18,783
• 25,000*0,6830 = 17,075
• 25,000*0,6209 = 15,523
• Итого:  94,770

Тут сумма платежа умножена на коэффициент дисконтирования, соответствующий каждому году. В итоге пять платежей по 25,000 в конце каждого года, учитывая дисконтирование, стоят 94,770, что немного меньше, нежели 100,000 сегодня. Соответственно, 100,000 сегодня при ставке 10% выгоднее, нежели предложенный аннуитет 5 лет по 25,000.

Этот пример является важным не только, чтобы продемонстрировать еще раз временную стоимость денег. Из таблицы очевидно, как можно упростить вычисление дисконтированной стоимости аннуитета. Вместо того чтобы каждую сумму отдельно дисконтировать, можно все коэффициенты дисконтирования сложить и умножить лишь один раз:

25,000*(0,9091+0,8264+0,7513+0,6830+0,6209)  что аналогично 25,000*3,7908=94,770

Из этого примера можно вывести математическую формулу расчета дисконтированной стоимости аннуитета.

Вначале вспомним, как выглядит формула дисконтирования:

PV = FV*1/(1+R)n

Коэффициент дисконтирования равен  1/(1+R)n  — это 0,9091, 0,8264 и так далее в нашем примере.

Формула аннуитета (для расчета дисконтированной стоимости денежных аннуитетных потоков)

PV = FV*[1/(1+R)1 + 1/(1+R)2  + 1/(1+R)3 + 1/(1+R)4  +1/(1+R)5]

И так далее, зависимо от того, сколько периодов времени у вас.

Выражение в квадратных скобках возможно представить математически, но это вряд ли необходимо большинству людей. Это называют коэффициентом аннуитета, или аннуитетным коэффициентом дисконтирования, точное название не настолько важно. Выше этот коэффициент в примере равен 3,7908.

Намного полезнее уметь пользоваться таблицами данных коэффициентов для расчета дисконтированной (приведенной) стоимости денежного аннуитетного потока. Данные таблицы дают возможность быстро разрешать простые задачи на дисконтирование аннуитетов.

Вот точная формула аннуитета или коэффициента дисконтирования аннуитета:

Коэффициент дисконтирования аннуитета: 1/R — 1/(R*(1+R)n)

Дисконтированная стоимость аннуитета: PV= платеж необходимо умножить на коэффициент

 Расчет аннуитета  — наращение

В примере выше считали дисконтированную стоимость денежного потока. То есть приводили к текущему моменту времени стоимость денежного потока. Можно разрешать и обратную задачу – узнать стоимость аннуитета в будущем (аннуитетного денежного потока).

ПРИМЕР 2. В первом примере можно посчитать будущую стоимость обоих вариантов. Если перевести из области чистой математики в жизненную плоскость, то необходимо выбрать, что лучше:

• (А) положить сегодня под 10% годовых 100,000 долларов в банк  или
• (Б) делать взносы в конце каждого года в сумме 25,000.

Для первого варианта можно использовать таблицу коэффициентов наращения (она есть в прошлой статье).

Для варианта (А) будущая стоимость просто считается: $100,000  будут через 5 лет равны 100,000*1,6105 = $161,050

Для варианта (Б) ситуация намного сложнее. Мы хотим узнать, сколько у нас будет на счете через 5 лет, если будем откладывать 25,000 в конце каждого года. То есть сделаем последний взнос и посчитаем сразу же, сколько накопили. Чтобы не ошибиться, лучше подписать коэффициенты наращения, которые соответствуют каждому году, на шкалу времени. Первый платеж сделают в конце первого года, это означает, что через 5 лет по нему нарастят проценты ли за 4шь года. Соответственно, по второму платежу получим проценты за 3 года, по третьему – за два года, по четвертому – за один год, и, наконец, в пятый раз положив деньги, проценты по последнему взносу еще не появятся (то есть необходимо будет умножить на 1,10 в нулевой степени!)

25,000*(1,1) 4+25,000*(1,1)3 + 25,000*(1,10)2 + 25,000*(1,10)1 + 25,000 (1,10)0  что равняется 25,000*1,4641 + 25,000*1,3310 +25,000*1,2100 +25,000*1,1000 + 25,000*1 = 25,000*6,1051 = 152,628

Будущая стоимость аннуитета (вариант Б) равна $152,628, что намного меньше, чем $161,050 (вариант А). Это значит, что на банковский счет выгоднее внести 100,000 долларов сегодня, чем в конце каждого из 5 следующих лет делать взносы 25,000. Этот вывод справедлив для банковской ставки 10% годовых.

Для расчета будущей стоимости аннуитетных денежных потоков также есть таблицы коэффициентов. Этой таблицей в данном случае можно использовать для расчета аннуитетов с платежами в конце временного интервала (то есть постнумерандо).

Формула аннуитета  для расчета его будущей стоимости для любителей математики выглядит так:

Коэффициент наращения аннуитета: FV = платеж перемножить на коэффициент,

где коэффициент равняется: [(1+R)n – 1]/R

Это был аннуитет с платежами в конце каждого года (постнумерандо).

ПРИМЕР 3. Рассмотрим и другой пример. Сколько накопим в банке на счете,  когда будем вносить по 25,000 в начале каждого года, а не в конце?  Это будет аннуитет пренумерандо, назовем его вариант В.

Платежи по 25,000 делают в начале каждого годового периода. К примеру, решили класть на банковский счет по 25,000 каждый год 1 января. Первый платеж принесет проценты за 5 лет, второй — за 4 года, третий — за 3 года, четвертый — за 2 год и, наконец, платеж, который сделан в начале пятого года, принесет проценты за один год. Коэффициенты наращения я  взяла из соответствующей таблицы, которую можно по ссылке открыть.

25,000*1,6105+25,000*1,4641 +25,000*1,3310 + 25,000*1,2100 + 25,000*1,1000 = 25,000* (1,6105+1,4641+1,3310+1,2100+1,1000) = 25,000*6,7156 = 167,890

Таким образом, когда начинать вносить 25,000 каждый год в начале годового периода и это делать в течение 5 лет, то спустя 5 лет сумма на счете будет равняться $167,890. Данный вариант В выгоднее, нежели варианты А и Б, которые рассмотрены раньше.

• Вариант А — $100,000, которые внесены сегодня, накопят на банковском счете спустя 5 лет лишь 161,050
• Вариант Б — $25,000, которые внесены на счет в конце каждого из 5 следующих лет, накопят спустя 5 лет лишь в $152,628

Как видно из двух последних примеров, большое значение имеет момент, когда проводятся платежи: в конце или в начале периода. Поэтому, когда необходимо рассчитать будущую или дисконтированную стоимость всяких денежных потоков, желательно рисовать шкалу времени, на которой необходимо отметить коэффициенты и суммы, которые соответствуют каждому периоду.

Как эти расчеты могут в жизни пригодиться?

В примерах выше разобраны абстрактные примеры аннуитетов. Однако с аннуитетными денежными потоками встречаемся и в реальной жизни. К примеру, интересно будет рассчитать, сколько получится накопить на сберегательном счете, когда откладывать каждый месяц часть зарплаты. Так же можно будет рассчитать, например, дисконтированную стоимость платежей по автокредиту. Выплаты банку при приобретении автомобиля (и не только автомобиля) в кредит являют собой аннуитет. Его дисконтированная (приведенная к сегодня) стоимость  — это и будет стоимость покупаемого автомобиля. Можно узнать точно, сколько переплачиваете при покупке в кредит машины по сравнению с вариантом покупки с оплатой полной суммы сразу. А также можно будет сравнивать кредитные предложения различных банков. Единственная проблема в данных расчетах – выбрать правильную месячную ставку дисконтирования.

Вечная рента

Вечная рента — аннуитет, платежи которого длятся в течение неограниченного срока. Другими словами – это серия одних платежей, которая вечно продолжается. Такой вариант возможен, если, к примеру, у вас есть вклад в банке, вы снимаете лишь ежегодные проценты, а главная сумма вклада остается нетронутой. Тогда, когда ставка процента по вкладу не изменяется, у вас будет вечная рента.

Все английские аристократы в викторианскую эпоху жили на проценты от своего капитала. Чем больший капитал в банке лежал, тем больше средств можно было потратить на жизнь и не работать при этом. Капитал по наследству переходил, и теоретически (если бы не было инфляции, войн, банкротств банков) так могло бы продолжаться вечно.

Будущая стоимость вечной ренты смысла не имеет, так как платежи длятся неограниченно долго. Но текущая стоимость вечной ренты является конечной суммой, которую возможно вычислить по формуле:

PV = платеж/R,

где R – это банковская ставка %, PV — текущая стоимость

К примеру, когда хочется со счета снимать проценты в сумме 500,000 рублей в год, а годовая банковская ставка 8%, то это означает, что на банковском счете сумма вклада должна равняться:

500,000/0,08 = 6,250,000 рублей (PV).

В этом случае (когда у банка лицензию не отберут или банк сам не обанкротится) можно такие проценты снимать постоянно в течение неограниченного периода времени. Единственное, что может нарушить данную идиллическую картину, — инфляция, из-за которой деньги обецениваются. Поэтому со времени снимаемые проценты будут всё меньше материальных благ приносить.

Философское отступление для тех, кто до этого места дочитал 🙂

Чтобы рента была вечной, необходимо сберегать капитал, с которого получаем данную ренту. Данный закон действует не лишь в финансовом мире. Человечество живет за счет природной ренты – оно использует ресурсы планеты, которые, к сожалению, исчерпаемы. Когда брать слишком много от природы, природная рента иссякает. Истощение земных ресурсов проходит на наших глазах.

Рыбу при традиционном рыболовстве понемногу ловили, но это могло вечно продолжаться. Индустриальные города требуют рыбы определенного качества и сорта, для вылова которой используется рыболовный промышленный флот. Крупные суда гонятся только за прибылью и не уважают океан. 80% мест промысловых районов Европы в настоящее время истощены. К 2050 году по расчетам ученых промышленное рыболовство сойдет на нет. Рыбная «рента» себя исчерпает. Много ли других ресурсов у человечества останется спустя 35-50 лет?

«Мир достаточно велик, чтобы удовлетворить нужды любого человека, но слишком мал, чтобы удовлетворить человеческую жадность»  Махатма Ганди

Планета Земля – наш единственный дом. Думаем ли об этом мы?

Рассчитать собственный потенциальный доход по вкладу возможно самостоятельно, не полагаясь на калькуляторы дохода, которые присутствуют на сайтах банковских учреждений. В этой статье показано на конкретных примерах, как рассчитать доход по вкладу с капитализацией процентов (ежемесячной, ежеквартальной, непрерывной, ежедневной) и как рассчитать эффективную ставку по вкладам с капитализацией.

Мы постарались дать наиболее полное определение и понятие термина аннуитет, раскрыть его суть и виды.